Makai Mihály
Mítoszok a matematikával kapcsolatban

Kétszer kettő mindig négy. Mindenkinek négy. Sokan szent áhítattal tekintenek a matematikára, mondván ott minden olyan egyszerű! Csak a logika számít, az eredmények objektívek, ezért nyilván viták sincsenek! Aki már hallotta matematikusok keserű kifakadásait például a függvényfogalom kapcsán, az tudja, egyáltalán nem ez a helyzet. A matematika emberi tevékenység terméke, ezért nem tévedhetetlen. Vegyük ennek kapcsán sorra a matematikával kapcsolatos mítoszokat. Elöljáróban megjegyzem, hogy a mítoszok kialakulásában feltehetően komoly szerep jut annak, ahogyan a matematikai eredményeket a közvélemény elé tárják. Publikációkban, előadásokban nem említik a vitatott, személyes, esetleg ellentmondásos részleteket, ezáltal mintegy lehántják az emberi burkot a matematikáról. Attól persze, hogy az említett dolgok nem kerülnek napvilágra, még léteznek.

1. mítosz: A matematika egy és oszthatatlan, a matematikus a matematika minden ágában járatos, abban az ágában pedig, amelyet művel, kiemelten járatos.

A valóság az, hogy a matematikusok „értesítője", a Mathematical Abstract a matematika több mint 2400 területét különbözteti meg. A 2400 terület annyira távol esik egymástól, hogy a legtöbb matematikus a többi terület jelölésrendszerét sem ismeri, amiből az következik, hogy a kutatási eredményeket sem tudja követni. Nemcsak a jelölés változik területről területre, de az eszközrendszer és a paradigma is. A matematikusok tevékenységét az alábbi öt családba szokás sorolni: A) kutatás, B) alkalmazás, C) tanítás, D) a matematika történetének vizsgálata, E) számítástudomány. Rögtön le kell szögezni, hogy a matematikusok jelentős része a számítástudományt nem is tekinti a matematika részének. Jelentősek a nézetkülönbségek a felsorolt csoportok művelői között. A kutatásban dolgozók például alacsonyabb rendűnek tekintik az alkalmazásokat. Ebből adódóan a matematika eredményei esetenként nagy késéssel kerülnek át az alkalmazásokba. Ennek alátámasztására elég megemlíteni a csoportelmélet fizikai alkalmazásait, ami ellen nagy volt az ellenállás, egyesek csoportvészről (csoportpestisről) beszéltek. Az alábbi vélemény a 20. század egyik kiemelkedő fizikusa, John Slater önéletrajzi kötetéből való:

„Ez volt az a pont, amikor Wigner, Hund, Heitler és Weyl belépett a képbe a maguk Gruppenpest-jével, a csoportelmélet pestisével, ahogyan néhány elégedetlen nevezte, aki iskolai tanulmányai során sohasem tanulta a csoportelméletet. [...] A Gruppenpest szerzői olyan cikkeket írtak, amelyek érthetetlenek voltak az olyanok számára, mint én, akik korábban nem tanultak csoportelméletet. Cikkeikben ezeket az elméleti eredményeket használták a sok-elektron probléma tanulmányozására. A gyakorlati következmények elhagyhatónak tűntek, de mindenki érezte, hogy aki a kvantummechanika fősodrában akar maradni, annak meg kell ismerkednie ezzel a technikával. Ez kiábrándító tapasztalat volt, méltó a pestis névre. " (J. C. Slater: Solid State and Molecular Theory. A Scientific Biography. New York, Wiley, NY (1975).)

Ma is igaz, hogy egy folytonos csoportokat kutató algebrista nem is tekinti matematikának a számítástudományt. A matematika távoli területei között időről időre mégis meglepően mély kapcsolatok bukkannak fel. Közismert a valószínűségszámítás kapcsolata a geometriával, az algebrával, az analízissel. Egy közismert anekdota szerint egy érettségi találkozón az egyik osztálytársról kiderül, hogy matematikus lett, statisztikával foglalkozik. Kérik, írjon fel egy egyszerű képletet, erre ő felírja a normális eloszlás képletét, amiben szerepel a pí. Ez mi, kérdezi valaki. A pí? Az a kör kerületének és átmérőjének aránya. Mindenki meg van győződve arról, hogy az illető füllent, hiszen hogyan kerülne a statisztikába egy geometriai adat? A túlzott specializáció egyik kellemetlen következménye, hogy alig akad olyan szakértő, aki a több terület eredményeit is felhasználó munkákat (legutóbb a Fermat-sejtés bizonyítása szolgált erre példával) lektorálni tudná. Természetesen az egyes csoportok hangsúlyai is eltérőek.

A kutatásban a bizonyítás lényege egy állítás belátása, a tanításban ellenben a bizonyítás inkább az állítás jobb megértését, esetleg a megjegyzését segíti elő. A csoportok technikái között egyúttal érdekes kölcsönhatások is megfigyelhetők. A közelmúltban például négyszíntétel (A négyszíntétel azt mondja ki, hogy bármely térkép kiszínezéséhez négy szín elegendő ahhoz, hogy a szomszédos országok színe mindig eltérő legyen.) bizonyítása során számítógépet használtak. Elképzelheti az olvasó a felhorkanást a kutatással foglalkozók körében! Az amerikai Arthur Jaffe (matematikus és fizikus) és Frank Quinn (matematikus) a szabatos bizonyítást meg akarták menteni a gépi számításokkal való lealacsonyító keveredéstől. A megoldást a számítógépet használó és nem használó matematika eltérő elnevezésében vélték meglelni. Javaslatuk nem keltett osztatlan lelkesedést, nem is talált követőkre.

2. mítosz: Az általunk ismert matematika az egyetlen lehetséges matematika. Eredményei örök érvényűek, mindig és mindenhol igazak voltak és igazak is maradnak.

Euklidész híres munkáját, az Elemekei, hosszú időn át világos, kétségen felül álló igazságnak tekintették. Igaz, voltak akik az axiómákat és a definíciókat nem találták kellően precíznek. Különösen a párhuzamosság körül lángoltak fel viták. Egyesek az Elemekben foglaltakat az univerzum természetéről szóló kétségbevonhatatlan, esetleg örök igazságoknak tekintették, mások viszont azt hangsúlyozták, hogy az axiómákat pontosabban is meg lehet fogalmazni. Akadtak, akik Euklidész axiómáit értelmezhetetlennek bélyegezték. Részben ezekből a vitákból született többek között a Bolyai-Lobacsevszkij-féle és a hiperbolikus geometria. A halmazelméletben is láttunk példákat arra, hogy a matematika eredményei (az axiómák, a definíciók és az érvelés) fokozatosan tökéletesednek. A függvényfogalom fejlődése jól példázza a fejlődés másik módját. A kezdeti időszakban a folytonos függvények álltak a középpontban, később azonban igény mutatkozott a szakadásos függvények bevonására is - ezek a függvények a szakadás helyén nem deriválhatók. Ehhez hasonló patologikus függvények vizsgálata vezetett el a sehol sem differenciálható függvényhez vagy a Dirac-funkcionálhoz, amely minden pontban nulla, kivéve az origót, ahol végtelen, de úgy, hogy a függvény görbéje alatti terület éppen egységnyi. A matematika fogalmai tehát mintegy önálló életet élnek, fejlődnek, változnak az idő múlásával. Mind ez ideig nem volt lehetőség arra, hogy a földi matematikát összevessük a marsi vagy a vénuszi matematikával, de ha ez az idő eljön, komoly problémák vetődnek majd fel. Ahhoz ugyanis, hogy két matematikus ki tudja cserélni nézeteit, szükség van egy közvetítő nyelvre (vö. az 5. fejezet 4. részével). Azt ugyan láttuk, hogy a földi nyelvek fogalmai és grammatikája lehetővé teszik két földi matematikus eszmecseréjét, azt azonban nem tudjuk, lehetséges-e eszmecsere a Mars zöld emberkéivel vagy egy másik galaxis matematikusaival. Ebből következően nem állítható, hogy a földi matematika az egyetlen.

3. mítosz: A precíz bizonyítás révén a matematika olyan módszer birtokában van, amelynek segítségével igaz premisszákból abszolút biztos következtetésre juthat.

A valóságban minden matematikus „hozott anyagból" dolgozik, vagyis mások eredményeiből indul ki. Ezeket az eredményeket gyakorlatilag lehetetlen ellenőrizni, ezért a matematikus kénytelen arra a körülményre hagyatkozni, hogy az adott terület szakértői (lektorok, bizottságok, szerkesztőségek) már megvizsgálták a felhasznált eredményeket. Ezt takarják a dolgozatokban felbukkanó „könnyen beláthatjuk", „a jól ismert érvelés szerint", „hosszadalmas számítások az alábbi eredményt adják". Ezért fordulhat elő (számos példa van rá), hogy az átvett eredmények hibásak, nem alkalmazhatók a konkrét esetre. Ezt a mítoszt alapjaiban támadja az a tény, hogy a matematika emberek műve, az emberek pedig szükségszerűen hibázhatnak (engedjük meg: a matematikusok kicsit ritkábban, mint a többi közönséges halandó). A filozófus Wittgenstein arra hívta fel a figyelmet, hogy a matematikában az áll a hiba hátterében, hogy aktuális elképzeléseinktől függetlenül létezik igaz és hamis. A melléfogások sora hosszú, az áldozatok között találjuk például David Hilbertet, aki bizonyítani vélte a kontinuum-hipotézist, de a listán megtalálható Descartes, Newton, Riemann és még sokan mások. Maga a bizonyítás is vita tárgya. A bizonyítás módszertana a logika körébe tartozik. A logika viszont azt próbálja ellesni, mit is csinál a matematikus, amikor valamit bizonyít. Az is előfordul, hogy egy állításnak megvan a bizonyítása, de az nem hihető. Ennek bemutatására vegyük a Banach-Tarski-tételt. (R. Hersh: A matematika természete. Budapest, Typotex, 2000. 267. o.) Zer-melo kiválasztási axiómájára alapozva Stefan Banach és Alfred Tarski bebizonyították, hogy fel tudunk szeletelni egy zöldborsót öt részre úgy, hogy e darabokat elmozgatva (eltolások és forgatások segítségével) még a Napnál is nagyságrendekkel nagyobb térfogatot kapjunk. Hát ez bizony elég hihetetlen állítás! A matematikában a bizonyítás szó két értelemben is használatos. Az első: a bizonyítás szó a gyakorlatban azt jelenti, amit akkor szoktunk tenni, ha egy állításról el akarjuk hitetni valakivel, hogy igaz. Első matematikatanárom, Székelyhidi Gizella mindig azt kérdezte a diákoktól: Készen van a munka? Ellenőrizted? Nem talál bennel hi-hát sem a rosszakarat, sem a sárga irigység? Ha ezekre a kérdésekre igen a válasz, könnyen meggyőzhetjük vitapartnerünket. A második jelentés: a bizonyítás szó az elméletben egy olyan formalizált eljárást jelent, amely egy elfogadott állításból kiindulva a logika szigorú szabályai szerint eljut a bizonyítandó állításig. A bizonyítás fontos helyet foglal el a matematikában, noha ez a hely korántsem centrális. Vannak állítások, amelyeket bizonyítás nélkül is elfogadnak, noha az ilyen állítás csak sejtés. Más állításokat lehet bizonyítani (mint az idézett Banach-Tarski-tételt), noha hihetetlennek tűnnek. Egyes tételekről utólag kiderült, hogy már a kimondásuk sem pontos, mások bizonyításáról derült ki, hogy hibás. A matematika lényege nem a bizonyítás, hanem egy összefüggés felismerése. A bizonyításnál mindig tekintettel kell lenni arra az elvre, hogy erős állítások erős érveket kívánnak.

4. mítosz: A matematika objektív, az igazság mindenki számára azonos, bárki fedezi is fel.

Annyit le kell szögezni, hogy a matematikusok nem szokták egymást azzal vádolni, hogy X meg sem értette Y tételét. Mégis, mély ellenérzést tükröz például Leopold Kronecker 189l-es nyilvános kijelentése, amely szerint Georg Cantor az ifjúság megron-tója. Arról nincs feljegyzés, hogy Cantor szakértelmét is kétségbe vonta volna... Ez a tény azért figyelemreméltó, mert két matematikus nézete között legalább akkora lehet a különbség, mint mondjuk a relativitáselmélet két értelmezését hirdető fizikus nézetei között, és, mint tudjuk, az utóbbi kapcsán személyeskedésig menő viták folytak. A relativitáselmélet egyik leghihetetlenebb állítása az, hogy két eseményt, amelyek egyidejűek egy adott koordinátarendszerben, egy másik, mozgó inerciarendszerbeli megfigyelő nem lát egyidejűnek. Fizikusberkekben általánosan ismert az alábbi anekdota. Azok, akik nem tudták elfogadni a relativitáselméletet, a következő kísérletet javasolták. Készítenek egy áramkört, amelyet két helyen megszakítanak. Ez az áramkör a laboratóriumhoz képest mozogni fog, például egy sínen haladó kocsiban. Az áramkör két megszakítását a mozgó inerciarendszerben egyidejűleg zárják. A laboratóriumban (ami ugye áll) elhelyeznek egy bombát, ami ugye a relativitáselmélet szerint nem fog felrobbanni, hiszen a laboratóriumhoz rögzített koordináta-rendszerben csak az egyik megszakító van zárva. Meghívják a relativitáselmélet híveit, üljenek rá a bombára, hiszen nincs mitől tartaniuk... A kísérlet persze nem jött létre, sőt, azt is kimutatták, hogy az áramkörben meginduló elektromágneses hullámok miatt a bomba mindenképpen felrobbanna. Az objektivitás mítoszának ellentmond, hogy sok eredmény, mondhatni emberi botladozások után öltött végső és elfogadott formát. Az igazság fontosságának jelentősségét kétségbe vonja, hogy egyes matematikusok attól függően fogadják el a bizonyítást, hogy milyen eszközöket használtak fel benne. A legnagyobb ellenérzés a számítógépekkel kapcsolatban figyelhető meg. Derrick Henry Lehmer már 1933-ban számítógépet (ha nem is a mai értelemben vett számítógépet) vett igénybe számelméleti munkája során. Lehmer munkamódszere az volt, hogy az általa szerkesztett géppel prímszámokat gyűjtött, s ezeket elemezve fogalmazta meg sejtéseit. A négyszínsejtés bizonyításánál a számítógépet úgy használták, hogy a bizonyítandó állítást esetekre bontották, az egyes esetek vizsgálatánál használtak számítógépet, tehát szó sincs arról, hogy a gép bevette az állítást, majd kiadta a verdiktet: az állítás igaz. A gépek használata aligha kerülhető el, hiszen a hosszú állítások, a nagyszámú műveletet kívánó lépések igencsak próbára teszik az ember figyelmét, ezért ilyenkor a gép igénybevétele indokolt. A matematikusok közössége hisz az információ szabad áramlásában, a tudás egyetemességében, és tudásukat készségesen meg is osztják másokkal. Ez persze nem zárja ki a vitát egy-egy eredmény elsőségéről. Közismert Leibniz és Newton (vagy inkább követőik?) az infinitezimális számítások (Egy végtelen tagból álló összeg értéke lehet véges, ha a tagok nagysága gyorsan csökken. Az infmitezimális mennyiségek alkotják a matematikai analízis (határérték, differenciálás, integrálás stb.) alapjait.) elsőbbségéért folytatott vitája. Magyar vonatkozásai miatt megemlítem az Euklidész V. (más számozás szerint XI.) posztulátuma, a párhuzamossági axióma kapcsán kialakult polémiát. Mintegy 2000 éve próbálkoztak matematikusok a párhuzamossági axióma kiiktatásával, de a többi axiómából a párhuzamossági axiómát nem sikerült levezetni. 1818-ban Karl Schweikart (1780-1853) egy levelet küldött Gausshoz, amelyben kifejtette, hogy elképzelhető az euklideszin kívül egy másik geometria, amelyben a háromszög szögeinek összege kisebb, mint két derékszög összege. Gauss azt válaszolta, mindezekkel ő már régóta foglalkozik, noha erre utaló írásos bizonyítékot nem talált az utókor. Később Schweikart munkáját Adolf Taurinus (1794-1874) folytatta, ő is tájékoztatta Gausst az eredményeiről. Gauss válaszában azt kérte, ne hozza nyilvánosságra eredményeit, hiszen úgysem értenék meg az új gondolatokat. Taurinus azonban nem fogadta meg a tanácsot. 1823-ban Bolyai János (1802-1860) rájött, hogy a párhuzamossági axióma elhagyható, és újabb ellentmondásmentes geometria építhető fel. Kidolgozott elméletét 1832-ben publikálta. Hasonló következtetésre jutott az orosz Nyikolaj Ivanovics Lobacsevszkij (1792-1856) is, ráadásul nagyjában egyidőben Bolyaival. 1894-ben a Matematikai Tudományok Nemzetközi Bibliográfiai Kongresszusa úgy határozott, hogy az új geometria neve legyen Bolyai-Lobacsevszkij-geometria. (Sain Márton: Nincs királyi út. Id. kiad. 614-623. o. alapján)

Mit gondolnak hát maguk a matematikusok a matematikáról? Először is, a matematikusok elismerik, hogy kedvenc tudományukban vannak ellentmondások. Erről így ír a Bourbaki-csoport:

Az ellentmondás-mentesség elérendő cél és nem istenadta tulajdonság, amely egyszer s mindenkorra velünk marad. A matematikus mindennapi munkájában nem húzhatunk egyértelmű határvonalat a többé-kevésbé egyértelmű hibák nyomán kezdőknél és szakembereknél egyaránt fellépő ellentmondások és a logikai gondolkodásnak évtizedek, sőt évszázadok óta tápot adó paradoxonok közé. (N. Bourbaki: Fondations of Mathematics for the Working Mathematician. Journal of Symbolic Logic, 14. szám, (1949), 1-8. o., idézi: Reuben Hersch: A matematika természete. Id. kiad. 32. o.)

Mi különbözteti meg hát a matematikát a humán tudományoktól? A matematika tárgyát tekintve humán természetű ugyan, objektivitását tekintve viszont inkább tudományos. A reprodukálható eredményeket felmutató területeket természettudományoknak nevezzük. A fogalmak vagy mentális objektumok világán belül a reprodukálható tulajdonságokkal rendelkező fogalmakat matematikai objektumoknak hívjuk.

Nem volt szerencsés (R. Hersch: A matematika természete. Id. kiad. 43.o.) a halmazelmélet bevezetése (többek között a magyar általános iskolák alsó tagozatában) a nyolcvanas években, de nem tekinthető sajátos véletlennek sem. Egyenes következménye volt az akkoriban dívó filozófiai doktrínának, amely szerint a matematika axiómarendszerekből áll, amelyek a halmazelmélet nyelvén fejezhetők ki. Ha ez az érvényben lévő felfogás, akkor a formalizmust bírálókra úgy tekintenek, mint a minőségrontás híveire, akik az igazi matematika helyett egy felvizezett változattal akarják áltatni a diákokat.

(Részlet Makai Mihály: Merre vagy szellem napvilága? című könyvéből)