Részlet Stanislas Dehaene: A számérzék - Miként alkotja meg az elme a matematikát? című könyvéből. Az itt kifejtett gondolatok nagy részét a könyvben részletesebben megtalálod.)

A matematika ésszerűtlen hatékonysága

Platonisták, formalisták és intuicionisták

[...] „Mi a szám, amit megismerhet az ember?" A huszadik századi matematikusokat mélyen megosztotta ez a matematikai objektumok természetét érintő alapkérdés. A hagyományosan „platonistáknak" nevezettek számára a matematikai valóság elvont létező, és tárgyai éppen annyira valóságosak, mint a mindennapi dolgok. Ez volt Hardy, Ramanudzsan felfedezőjének a meggyőződése is: „Véleményem szerint a matematikai valóság rajtunk kívül áll, és a mi feladatunk az, hogy felfedezzük és megfigyeljük azt. Az általunk bizonyított elméletek, amiket fellengzősen saját »teremtményeinkként« írunk le, egyszerűen nem mások, mint a megfigyelés során készített feljegyzések."

Meglepően hasonló hitvallást fogalmaz meg a francia matematikus, Charles Hermite is: „Véleményem szerint a számok és az analízis függvényei nem elménk önkényes termékei. Hitem szerint rajtunk kívüli létezésük pontosan annyira szükségszerű, mint az objektív valóság tárgyaié. Éppúgy kutatunk utánuk és fedezzük fel őket, mint a fizikusok, a kémikusok és a zoológusok."

A fenti két idézet Morris Kline Matematika: a bizonyosság elvesztése című, hasonló kivonatok tucatjait tartalmazó könyvéből származik. A matematikusok között valóban a platonizmus a legelterjedtebb nézet, és biztos vagyok benne, hogy ez helyesen jellemzi a saját introspekciójukat: valóban az az érzésük, hogy a számok vagy ábrák elvont világában mozognak, ami az ő e világ feltárására irányuló próbálkozásaiktól függetlenül is létezik. Fogadjuk el ezt az érzést úgy, ahogyan van, vagy tekintsük inkább egy megmagyarázandó pszichológiai jelenségnek? Az episztemológusok, neurobiológusok vagy neuropszichológusok számára a platonista felfogás nehezen védhető - olyannyira elfogadhatatlan, mint a kartéziánus dualizmus az agykutatásban. A dualista hipotézis áthághatatlan nehézségekkel találja magát szembe, mivel nem tudja magyarázni, miképpen képes az anyagtalan lélek kommunikálni a fizikai testtel. Hasonlóképpen, a platonizmus sem világítja meg, hogyan tudná egy hús-vér matematikus felfedni az absztrakt matematikai objektumok tartományát. Ha ezek az objektumok valódiak, de anyagtalanok, milyen érzékek fölötti módon tudja őket észlelni a matematikus? Ez az ellenvetés a matematika platonista felfogásmódjára nézve végzetes. Még ha a matematikusok introspekciója meg is győzi őket az általuk tanulmányozott tárgyak tapintható valóságosságáról, ez az érzés nem több, mint illúzió. Valaki feltehetően csak akkor képes matematikai zsenivé válni, ha megvan a kivételes képessége absztrakt matematikai fogalmak élénk mentális reprezentációinak a kialakítására. Ezek a mentális képek rövidesen a matematikai objektumok emberi eredetét elkendőző, a független létezés benyomását keltő illúziókká válnak.

A matematikusok egy másik csoportja a platonizmusnak hátat fordítva „formalistának" vallja magát. Ők a matematikai objektumokat jelentés nélkülinek és üresnek tekintik. Számukra a matematika pusztán egy olyan játék, amelyben bizonyos precíz formális szabályok betartása mellett szimbólumokat manipulálnak. A matematikai objektumoknak, például a számoknak, semmiféle kapcsolata sincsen a valósággal: egyszerűen úgy definiálhatók, mint bizonyos axiómáknak megfelelő szimbólumok halmaza. David Hilbert, a formalista mozgalom vezetője szerint ahelyett, hogy bármely két ponton csak egy egyenes mehet keresztül, azt is mondhatnánk, hogy bármely két pohár sörön csak egy asztal mehet keresztül. Ez a helyettesítés a geometria egyetlen elméletét sem változtatná meg. Vagy Wittgenstein híres kijelentésével élve: „Minden matematikai tétel ugyanazt jelenti: semmit."

Bizonyára van némi igazság abban a formalista elképzelésben, hogy a matematika nagy része pusztán formális játék. Valóban, a tiszta matematika számos kérdése első látásra hóbortosnak tűnő ötletekből eredt. Mi történne, ha ezt az axiómát az ellentétére cserélnénk? Vagy ha ezt a „plusz" jelet „mínusz" jelre cserélnénk? Vagy ha egyszer csak megengednénk, hogy gyököt lehessen vonni a negatív számokból? Vagy ha egyes egész számok bármely másnál nagyobbak lennének?

Magam mégsem hiszem, hogy a matematika egészét tisztán önkényes választások következményeinek feltárására lehetne redukálni. Bár a formalista felfogás számot adhat a tiszta matematika késői fejlődéséről, nem magyarázza meg kellőképpen annak eredetét. Ha a matematika pusztán formális játék, akkor hogyan lehet, hogy az emberi elme specifikus és univerzális kategóriái - a számok, halmazok és folyamatos mennyiségek - vannak a középpontjában? Miért tartják a matematikusok a számtan törvényeit alapvetőbbnek, mint mondjuk a sakk szabályait? Miért törte magát Peano, hogy néhány jól kiválasztott axiómát javasoljon, ahelyett hogy egyszerűen légből kapott definíciók sorát használta volna? Miért választotta ki maga Hilbert is az elemi számtani érvek egy körülírt halmazát a matematika más részeinek alapjául? Mindenekfölött pedig, miért alkalmas a matematika ennyire a fizikai világ modellezésére?

Véleményem szerint a matematikusok többsége nem csupán önkényes szabályokat követve manipulálja a szimbólumokat. Éppen ellenkezőleg, elméleteikben bizonyos fizikai, számtani, geometriai és logikai intuíciókat próbálnak meg kifejezni. A matematikusok harmadik csoportját az „intuicionisták" vagy „konstruktivisták" alkotják. Szerintük a matematikai objektumok egyszerűen az emberi elme alkotásai. Nézetük szerint a matematika a külső világban nem, hanem csak az azt megalkotó matematikus agyában létezik. Az emberi faj megjelenése előtt sem a számtan, sem a geometria, sem pedig a logika nem létezett. Mint arra Poincaré vagy Delbrück rámutatott, még az is elképzelhető, hogy más fajok teljesen más matematikát találnának ki. A matematikai objektumok az emberi gondolkodás alapvető, a priori kategóriái, amiket a matematikusok finomítanak és formalizálnak. Elsősorban agyunk szerkezete kényszerít arra, hogy a világot elkülönült objektumokra bontsuk. Ez az eredete a halmazok és számok intuitív fogalmának.

Az intuicionizmus alapítói hangsúlyozták a számtani intuíció primitív és redukálhatatlan voltát. Poincaré szerint „a szám tiszta intuíciója az egyetlen intuíció, amiben nem csalatkozhatunk", és magabiztosan hirdette, hogy „a matematikai gondolkodás egyedüli természetes objektumai az egész számok". Dedekind úgy tekintett a számra, mint „a gondolat tiszta törvényszerűségeinek közvetlen kisugárzására".

Mint azt Morris Kline matematikatörténész kimutatta, az intuicionizmus gyökerei Descartes, Pascal és természetesen Kant munkájára nyúlnak vissza. Habár Descartes az egyéni hiedelmek megkérdőjelezésének bajnoka volt, nem kérdőjelezte meg a matematika nyilvánvalóságát. Elmélkedéseihez bevallotta: „A legbiztosabbak közé számítottam azokat az igazságokat, amelyeket tisztán értettem, így a számokat és más efféle, a számtannal és a geometriával, valamint általában a tiszta és elvont matematikával kapcsolatos dolgokat."

Pascal még tovább vitte ezt a nézetet: „A legfontosabb elvekről - amilyen a tér, az idő, a mozgás és a szám - való tudásunk olyan biztos, mint bármely, érvelés útján megszerzett tudás. Érvelésünknek tulajdonképpen erre a szívünk és ösztöneink által adott tudásra kell építenie a következtetéseit."

Végül pedig, Kant véleménye szerint a szám az elme szintetikus, a priori kategóriái közé tartozott. Általánosabban Kant azt állította, hogy „a matematika alapvető igazsága abban áll, hogy az emberi elme meg tudja alkotni a fogalmait".

A matematika természetére vonatkozó bevett elméletek közül számomra az intuicionizmus ad legjobban számot a számtan és az emberi agy közötti kapcsolatról. A számtan pszichológiai kutatásának utóbbi éveiben olyan új érvek születtek az intuicionista nézet mellett, amiket sem Kant, sem Poincaré nem tudhatott. Az empirikus eredmények megerősítik Poincaré feltevését, miszerint a szám „a gondolkodás természetes tárgyai közé tartozik", vagyis az olyan velünkszületett kategóriák közé, amelyek szerint felfogjuk a világot. Mit tudtunk meg az előző fejezetekben erről a számérzékről? Azt, hogy

  • az emberi csecsemők a tárgyak elkülönítésére és a kis halmazok számosságának megállapítására szolgáló öröklött mechanizmussal születnek;
  • ez a számérzék az állatokban is jelen van, azaz a nyelvtől független, és hosszú evolúciós történettel rendelkezik;
  • a gyerekeknél a számtani becslés, összehasonlítás számlálás, az egyszerű összeadás és kivonás mind-mind önmagától, explicit utasítások nélkül fejlődik ki;
  • mindkét agyfélteke alulsó fali területe a számszerű mennyiségek mentális manipulációjára szolgáló idegi hálózatokat tartalmaz.

    A számokra vonatkozó intuíciónk tehát mélyen agyunkba van ültetve. A szám feltehetően azon alapvető dimenziók egyike, amelyek mentén idegrendszerünk feldolgozza a külső világot. Éppúgy, ahogy nem tudjuk elkerülni, hogy színesben (ez a tulajdonság a nyakszirti lebenyünk hálózataihoz köthető, beleértve a V4 területet) és a tér meghatározott helyeihez kötötten lássunk, úgy a számszerű mennyiségeket is alulsó fali lebenyünk specializált hálózatainak erőfeszítést nem igénylő működése révén észleljük. Agyunk szerkezete határozza meg azokat a kategóriákat, amelyekre építve a matematikán keresztül értjük meg a világot.

    A matematika megalkotása és szelekciója

    Habár a neuropszichológiai adatok alátámasztják a Poincaré által képviselthez hasonló intuicionizmust, ezt a felfogást egyértelműen el kell különíteni az intuicionizmus szélsőséges formájától, a Luitzen Brouwer holland matematikus által hevesen védelmezett konstruktivizmustól. Számos kollégája szerint Brouwer túl messzire ment abbéli buzgalmában, hogy tisztán intuitív alapokra helyezze a matematikát. Elvetett olyan logikai elveket, amelyeket bár gyakran használnak a matematikai demonstrációkban, de nem érezte úgy, hogy ezek megfelelnének bármiféle egyszerű intuíciónak. Különösen azt emelném ki, hogy itt feltehetően teljesen ki nem fejthető okokból kifolyólag elutasította a „nincs középút" elvének végtelen halmazokra való alkalmazását. A klasszikus logika ezen ártatlan kinézetű elve azt állítja, hogy bármely értelmes matematikai kijelentés vagy igaz, vagy hamis. E feltevés elutasítása a matematika új, konstruktivista matematika néven illetett ágának a kifejlődéséhez vezetett.

    Nyilvánvalóan nem én fogom eldönteni, hogy a klasszikus matematika vagy Brouwer konstruktivista matematikája a legkoherensebb és a legtermékenyebb módja-e a kutatásnak. A döntés végső soron a matematikai közösségre tartozik, a pszichológusnak a megfigyelő szerepére kell szorítkoznia. Mindazonáltal véleményem szerint mindkét elmélet összeegyeztethető azzal az általánosabb feltevéssel, hogy a matematika alapvető intuícióink formalizálásából és folyamatos finomításából áll. Az emberek a számokra, halmazokra, folyamatos mennyiségekre, ismétlődésekre, logikára és a tér geometriájára vonatkozó számos intuícióval születnek. A matematikusok arra törekednek, hogy ezeket az intuíciókat formalizálják, és logikailag koherens axiómarendszerekbe rendezzék őket, de semmi sem garantálja azt, hogy ez lehetséges. Valójában az evolúció valamennyi, intuícióink alapját képező agyi modulunkat egymástól függetlenül alakította ki, és nagyobb gondja volt arra, hogy azok jól működjenek a való világban, mint arra, hogy egymással koherensek legyenek. Ez lehet az oka annak, hogy a matematikusok nem mindig értenek egyet abban, hogy mely intuíciókat fogadják el, és melyeket kellene elvetniük.

    A klasszikus matematika az igaz és a hamis közötti kettősség intuíciójára épül (és ennyiben, mint azt Brouwer megjegyezte, valóban azt kockáztatja, hogy túlmegy a véges és végtelen halmazokkal kapcsolatos intuícióinkon). Brouwer ezzel szemben alapelvként fogadja el a véges konstrukciók vagy érvelések elsődlegességét. Végső áttekintésben a matematikáról vallott nézete - habár azt időnként „intuicionizmusnak" nevezik - biztosan semmivel sem intuitívebb, mint másokéi. Pusztán csak intuíciók részben különböző halmazára épül.

    E keretben már csak azt kell megmagyaráznunk, hogy intuícióik, veleszületett kategóriájuk révén a matematikusok miképpen képesek egyre elvontabb szimbolikus konstrukciókat kidolgozni. A francia neurobiológussal, Jean-Pierre Changeux-vel egyetértésben úgy vélem, hogy a matematika az alkotást követő szelekció révén fejlődik. A matematika evolúciója történetileg igazolt tény. A matematika nem merev tudásanyag. Tárgyai, de még érvelésmódjai is sok nemzedék alatt fejlődtek ki. A matematika épületét is próba-szerencse módszerrel emelték. A legmagasabb állványok időnként csaknem leomlanak, és a pusztulást végeérhetetlen körben követi az újjáépítés. Valamennyi matematikai konstrukció alapjai a halmaz, a szám, a tér, az idő és a logika alapvető intuícióiban gyökereznek. Ezeket szinte sohasem kérdőjelezik meg, olyan mélyen az agyunkban lévő, redukálhatatlan reprezentációk közé tartoznak. A matematika ezen intuíciók fokozatos formalizációjaként határozható meg. Célja az, hogy koherensebbé, kölcsönösen kompatíbilissé és a külső világban szerzett tapasztalatainkhoz jobban alkalmazkodóvá tegye azokat.

    Több döntő mozzanat irányítja a matematikai objektumok kiválasztódását és későbbi nemzedékekre való hagyományozását. A tiszta matematikában az ellentmondás-mentesség, valamint az elegancia és az egyszerűség azok a legfontosabb tényezők, amelyek szavatolják az egyes matematikai alkotások fennmaradását. Az alkalmazott matematikában van még egy fontos tényező: a matematikai konstruktumoknak összhangban kell lenniük a fizikai világgal. A fentiek szerint az önellentmondó, nem elegáns vagy haszontalan matematikai alkotásokat könyörtelenül kiselejtezik. Csak a legerősebbek állják ki az idő próbáját.

    A 4. fejezetben a számjelek fejlődését áttekintve már találkoztunk a matematikában végbemenő kiválasztódás egy példájával. Távoli őseink feltehetően csak az 1, 2 és 3 számokat nevezték el. Később újítások egész sora jelent meg: a testre mutogató számolás, a tízig terjedő számnevek, majd végül az összeadási és szorzási szabályokon alapuló összetett számnyelvtan. írásban előbb a rovás alapú számjelek, majd az összeadó számjelek, végül pedig a 10-es alapú helyiértékes jelölés bontakozott ki. Minden egyes lépéssel kissé, de határozottan javult a számok olvashatósága, tömörsége és kifejező ereje.

    Hasonló evolúciós történetet lehet felvázolni a valós számok tartományára is. Püthagorasz idejében a számok csak az egész számok és két egész szám arányai lehettek. Később jött a döbbenetes felfedezés, hogy a négyzet átlóját nem lehet meghatározni: a gyök(2)-t nem lehet két egész szám arányaként kifejezni. Hamarosan ilyen irracionális mennyiségek egész sorát állították elő. A matematikusok több mint húsz évszázadig küzdöttek, hogy megfelelő formális keretbe illesszék őket. Voltak elhibázott próbálkozások - az infinitezimálisok -, ellentmondásoktól szenvedő és túl sokszor az egy négyzetére hivatkozó látszólagos megoldások. Végül mindössze egy évszázaddal ezelőtt Dedekind kezdte munkássága során kidolgozni a valós számok halmazának kielégítő definícióját.

    Az általam védelmezett evolúciós nézőpont szerint a matematika emberi alkotás, azaz szükségszerűen tökéletlen és korrekciókra szoruló vállalkozás. Ez a következtetés talán meglepőnek tűnik. A gyakran a „pontosság templomának" nevezett matematikát a tisztaság aurája övezi. A matematikusok maguk is -jogosan - elcsodálkoznak tudományuk erején. Nem vagyunk-e azonban valamennyien hajlamosak elfelejteni, hogy mindez öt évezred erőfeszítésein alapszik?

    A matematikát gyakran az egyetlen kumulatív tudománynak tekintik: a már megszületett eredményeket sohasem kérdőjelezik vagy változtatják meg. Elég azonban egyetlen pillantást vetni a régebbi matematikai könyvekre, hogy számos, e nézettel ellenkező példát találjunk. Hatalmas kötetek avultak el akkor, mikor kitalálták a másod-, harmad- és negyedfokú többtagú egyenletek megoldásának általános módszereit. A korábban érvényesnek tartott levezetéseket a matematikusok következő nemzedéke elégtelennek vagy egyenesen hibásnak találhatja. Megdöbbentő például, hogy az l - l + l - l + 1..., azaz az egy végtelen sorban váltakozó összeadásával és kivonásával több mint egy évszázadig hiába küzdöttek a matematikusok. Napjainkban bármely egyetemi hallgató bizonyítani tudja, hogy ennek az összegnek nincs értelmes értéke (0 és 1 között változik). 1713-ban azonban még a rendkívüli tehetségű Leibniz is azt bizonyította - természetesen tévesen -, hogy a végtelen összeg 1/2-del egyenlő.

    Ha az olvasó nem hiszi, hogy a hibás érvelés még a legjobb elmék előtt is évtizedekig leleplezetlen maradhat, akkor próbálkozzon meg a 9.1. ábrán látható feladat megoldásával (lásd a könyvben). Néhány lépésben bizonyítható, hogy bármely két vonal derékszögben találkozik egymással! A bizonyítás persze téves, de a hiba olyan kicsiny, hogy órákig sikertelenül lehet kutatni utána. Mit mondjunk akkor a manapság megjelenő, a matematikai újságok több száz oldalát kitöltő bizonyításokról? Az akadémiák világszerte Fermat sejtésének többtucatnyi téves bizonyítását kapták meg.

    Még Andrew Wiles első meggyőző bizonyítása is tartalmazott egy hibás állítást, aminek a kiigazításához több mint egy évre volt szükség. És mit gondoljunk az újabb bizonyításokról, amik azon alapszanak, hogy számítógéppel kiértékelik a lehetséges többmilliárdnyi kombinációt? Egyes matematikusok elvetik ezt a gyakorlatot, mivel attól tartanak, hogy nincs bizonyíték a számítógépprogram hibátlanságára. Napjainkra a matematika épülete még nem stabilizálódott teljesen. Nincs garanciánk arra, hogy egyes részleteket, Leibniz végtelen összegéhez hasonlóan, néhány generáció múlva nem fogunk kihajítani belőle.

    Senki sem tagadhatja, hogy a matematika rendkívül nehéz elfoglaltság. Véleményem szerint ez a nehézség az emberi agy felépítésének a következménye. Agyunk csak kevéssé alkalmas szimbolikus műveletek hosszú sorának az elvégzésére. Már gyermekként komoly nehézségekkel nézünk szembe, mikor meg kell tanulnunk a szorzótáblát vagy a több számjegyű számítási algoritmusokat. A 3 számjegy kivonása során mérhető agyi aktivitási térképek a fali és frontális lebenyek erőteljes kétoldali aktivációjára utalnak. Ha már a kivonás elemi művelete is ilyen nagy mértékben mozgósítja idegi hálózatainkat, akkor el lehet képzelni, milyen szintű hozzáértés szükséges egy új és igazán nehéz matematikai feltételezés bizonyításához. Nem csoda hát, hogy oly sok hiba és pontatlanság fordul elő a matematikai alkotásokban. A jelenlegi sikereket csak több tízezernyi matematikus évszázadokon keresztül felhalmozott és finomított együttes tudása magyarázhatja. Ezt a következtetést fogalmazta meg találóan Evariste Galois francia matematikus: „[Ez a] tudomány az emberi elme terméke, ami nem arra rendeltetett, hogy tudjon, hanem hogy kutasson, és hogy inkább keresse az igazságot, mintsem megtalálja azt."

    A matematika ésszerűtlen hatékonysága

    Annak elismerése, hogy a matematika az emberi elme terméke, nem jelenti azt, hogy önkényes, és hogy valamelyik másik bolygón azzal a képzettel születtünk volna meg, hogy 1 + 1 = 3. A kiválasztódás mind a fajfejlődés, mind a gyermekkori agyi fejlődés folyamán gondoskodott arról, hogy az agy a külső valósághoz illeszkedő belső reprezentációkat hozzon létre. A számtan is ilyen alkalmazkodás következménye. A mi nagyságrendünkben a világ főképpen halmazokba csoportosuló - az ismerős 1 + 1 = 2 egyenlet alapján -, különálló tárgyakból áll. Ezért kódolta az evolúció a génjeinkbe ezt a szabályt. Talán teljesen más lenne a számtanunk, ha angyalok módjára a mennyben fejlődtünk volna ki, ahol egy felhő meg még egy felhő továbbra is csak egy felhő. A matematika evolúciója némi betekintést nyújt a matematika még mindig egyik legnagyobb rejtélyének tartott kérdésébe: abba, hogy figyelemre méltó pontossággal képes reprezentálni a fizikai világot. „Hogyan lehetséges, hogy a matematika, ami az emberi gondolkodás terméke, és független a tapasztalattól, olyan jól illeszkedik a fizikai valóság tárgyaihoz?" - tette fel a kérdést 1921-ben Einstein. Wigner Jenő a „matematika természettudományok terén mutatott ésszerűtlen hatékonyságáról" beszélt. Valóban, a matematikai fogalmak és a fizikai megfigyelések időnként olyan pontosan illeszkednek egymáshoz, mint a kirakósjáték kockái. Gondoljunk Kepler és Newton felfedezésére, miszerint a testek a gravitáció következtében ellipsziseket, parabolákat vagy hiperbolákat írnak le. Ezek ugyanazok a görbék, amikkel kétezer évvel korábban a görög matematikusok a síkok és kúpok különféle metszeteit jellemezték. Gondoljunk a kvantummechanika egyenleteire, amikkel a legutolsó számjegyig kiszámítható az elektron tömege. Gondoljunk a gaussi haranggörbére, ami csaknem tökéletesen illeszkedik az ősrobbanásból származó ősi sugárzás megfigyelt eloszlásához.

    A matematika hatékonysága minden matematikus számára alapvető probléma. Az ő nézőpontjuk szerint a matematika elvont világának nem kellene olyan szorosan illeszkednie a konkrét fizikai világhoz, mivel e kettő egymástól lényegében független. A matematika alkalmazhatósága megfejthetetlen rejtélynek tűnik számukra, ami egyeseket a miszticizmusig vezet. Wigner számára „Az a csoda, hogy a matematika nyelvét fel lehet használni a fizika törvényeinek megfogalmazására, olyan bámulatos ajándék, amit soha nem fogunk sem megérteni, sem megérdemelni." Kepler szerint „A külső világra irányuló valamennyi kutatás célja az Isten által teremtett rend és ésszerű harmónia feltárása, amit a matematika nyelvén mutat meg számunkra." Vagy idézzük Cantort: „Isten nagyszerű tökéletessége abban a képességében áll, hogy képes végtelen halmazt alkotni, illetve végtelen jóságában, ami révén ezt meg is teszi." Ramanudzsan is ezen az úton halad: „Számomra az egyenleteknek nincs jelentése, hacsak nem Isten gondolatait fejezik ki." (A kiemelések valamennyi idézetben tőlem származnak.) Ezek a kijelentések nem pusztán a tizenkilencedik századi miszticizmus maradványai. Az újabban híres kortárs asztrofizikusok által is vallott antropocentrikus elv egyik változata szerint a világegyetem olyan terv szerint keletkezett, hogy abban megjelenjen az ember, és képes legyen megérteni azt.

    A világegyetemet szándékosan a matematikai törvények szerint tervezték? Bolond lennék azt hinni, hogy meg tudnám válaszolni ezt a metafizika körébe eső kérdést, amit maga Einstein is a világegyetem legnagyobb rejtélyének nevezett. Legalábbis elcsodálkozhatunk azonban azon, hogy saját szakterületükön miért érzik még a legjobb tudósok is úgy, hogy ki kell fejezniük az egyetemes tervezésbe vetett hitüket, és miért hivatkoznak nem megfigyelhető létezőkre, nevezzék azokat akár „Istennek" vagy „a világegyetem matematikai törvényeinek". A biológia darwini forradalma arra tanított bennünket, hogy a látszólag meghatározott célt szolgáló szervezett struktúrák előfordulása nem feltétlenül a Nagy Építőmester munkájának a következménye. A tervezés csodájának tűnő emberi szem a természetes kiválasztódás által több millió évig válogatott vak mutációk következtében jött létre. Darwin legfontosabb üzenete az, hogy ha valamilyen szerv, mondjuk a szem esetében tervezésre utaló jeleket találunk, akkor fel kell tennünk a kérdést, hogy volt-e vajon tervező, vagy pedig maga a kiválasztódás is elegendőnek bizonyult az evolúció folyamán.

    A matematika evolúciója tény. A tudománytörténészek leírták, ahogyan lassan, próba-szerencse módszerrel egyre hatékonyabbá vált. Nem szükséges tehát azt feltételezni, hogy a világegyetemet a matematikai törvényekhez illeszkedően tervezték. Nem inkább a saját matematikai törvényeink és ezt megelőzően agyunk szervező elvei válogatódtak-e ki úgy, hogy illeszkedjenek a világegyetem szerkezetéhez? A matematika Wigner Jenőt lenyűgöző csodálatos hatékonysága a szem látáshoz való alkalmazkodásához hasonlóan a szelektív evolúcióval magyarázható. Ha napjaink matematikája hatékony, az csak azért van, mert a tegnap nem eléggé hatékony matematikáját könyörtelenül kiirtották és kicserélték.

    Úgy tűnhet, hogy a tiszta matematika komolyabb kihívást jelent az általam védelmezett evolúciós nézőpont számára. A matematikusok azt állítják, hogy egyes matematikai tényekkel csak szépségük miatt foglalkoznak, nincs kilátásban azok gyakorlati alkalmazása. Időnként azonban, évtizedekkel később eredményeik úgy illeszkednek egy mindaddig előre nem látott fizikai problémához, mint kéz a kesztyűbe. Miként lehet megmagyarázni, hogy az emberi elme legtisztább termékei tökéletesen illeszkednek a fizikai valósághoz? Evolúciós nézőpontból a tiszta matematikát talán a nyers gyémánthoz lehetne hasonlítani, olyan nyersanyaghoz, ami még nem esett át a kiválasztódás próbáján. A matematikusok óriási mennyiségű tiszta matematikai gondolatot hoznak létre. Ezeknek csak kis része bizonyul hasznosnak a fizikában. Túltermeljük tehát a matematikai megoldásokat, amelyekből a fizikusok aztán a szakterületükhöz leginkább illeszkedőket válogatják ki. Ez éppen úgy történik, mint a véletlenszerű mutációkat követő kiválasztódás darwini modelljében. Ennek az érvnek a fényében talán kevéssé tűnik csodálatosnak, hogy a számos elérhető modell közül egyesek kitűnnek a fizikai világhoz való szoros illeszkedésükkel.

    Végül pedig, végképp lehull a titokzatosság fátyla a matematika ésszerűtlen hatékonyságáról, ha nem feledkezünk meg arról, hogy a matematikai modellek csak ritkán felelnek meg pontosan a fizikai világnak. Keplert meghazudtolva a bolygók valójában nem ellipsziseket írnak le. A Föld talán elliptikus pályát követne, ha egyedül lenne a Naprendszerben, ha tökéletes gömbalakja lenne, ha nem cserélne energiát a Nappal, és így tovább. A gyakorlatban azonban valamennyi bolygó az ellipszisekre csak emlékeztető kaotikus pályát követ, amelyet néhány ezer éven túl nem lehet pontosan előre jelezni. A világegyetemre arrogánsán ráhúzott fizikai „törvények" arra vannak ítélve, hogy részleges modellek, örökké javításra szoruló mentális reprezentációk maradjanak. Véleményem szerint a fizikusok álmainak jelenlegi tárgya, a „minden elmélete" mindörökké elérhetetlen marad.

    A matematikai elméleteknek a fizikai világ szabályszerűségeihez való részleges alkalmazkodása talán módot nyújthat a platonisták és az intuicionisták véleménye közötti közelítésre. A platonisták az igazság letagadhatatlan részére hívják fel a figyelmet, mikor azt hangsúlyozzák, hogy a fizikai valóság az emberi agyban jelen lévő struktúrák szerint szerveződik. Én nem mondanám azonban, hogy ez a szerveződés matematikai természetű. Maga az emberi agy fordítja azt matematikaivá. A sókristály szerkezetét például csakis hat oldallal rendelkezőként vagyunk képesek látni. Szerkezete kétségkívül már jóval azelőtt létezett, hogy az emberek megjelentek volna a Földön. Úgy tűnik azonban, hogy csak az emberi agy képes szelektíven felfigyelni a hat oldalra, 6-ként észlelni ezek számosságát, majd ezt a számot koherens számtani elmélet keretében másokhoz viszonyítani. A számok más matematikai objektumokhoz hasonlóan mentális alkotások, amelyeknek a gyökerei az emberi agynak a világegyetem szabályszerűségeihez való alkalmazkodásában erednek.

    Van egy eszköz, amit a tudósok olyan gyakran használnak, hogy puszta létezéséről is megfeledkeznek. Ez a saját agyuk. Az agy nem logikus, univerzális és optimális gép. Bár az evolúció révén rendelkezik egyes, a tudomány számára hasznos paraméterek - például a számok - iránti érzékenységgel, fejlődése azonban ugyanakkor különösen ellenállóvá és csekély hatékonyságúvá tette a logika és a hosszú számítások terén. Végül pedig, agyunk hajlamos antropocentrikus keretben értelmezni a fizikai jelenségeket, aminek következtében ott is a tervszerűség bizonyítékait véljük látni, ahol kizárólag az evolúció és a véletlen játszik szerepet. Valóban a „matematika nyelvén" írták a világegyetemet, mint azt Galilei gondolta? Én hajlamosabb vagyok azt hinni, hogy inkább ez az egyetlen nyelv, amin megpróbálhatjuk elolvasni.